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Esferas pseudogeodésicas
El objeto que aquí llamamos esfera pseudogeodésica es un sólido cerrado que podemos considerar formado por 12 pentágonos y 30 hexágonos regulares, aunque los hexágonos no pueden ser completamente planos. En la primera de las siguientes páginas explicamos cómo obtenemos el objeto a partir de un dodecaedro regular a doble escala; en la segunda y la tercera construimos esferas a escalas 2 y 3, y en la cuarta construimos un fragmento de esfera a escala 4:
Como cada hexágono está formado por 6 triángulos y cada pentágono por 5, la esfera pseudogeodésica está formada por 30 × 6 + 12 × 5 = 240 triángulos. Cada triángulo usa 3 barras (serían 240 × 3 = 720 barras), pero como cada barra forma parte de dos triángulos estaríamos contándolas dos veces; la cifra correcta será 720 / 2 = 360 barras.
De forma parecida, cada triángulo tiene tres vértices (serían 240 × 3 = 720 bolas). La mayoría de los vértices pertenecen simultáneamente a 6 triángulos, pero los 12 vértices centrales de los pentágonos solo pertenecen a 5 triángulos, por lo que calcular el número de bolas no es tan sencillo como dividir 720 entre 6. Pero se puede hacer de esta manera: en cada uno de los 12 vértices centrales de los pentágonos coinciden 5 triángulos, luego esas 12 bolas están contando por 12 × 5 = 60 en el total de 720; si las restamos, las 720 – 60 = 660 bolas que quedan sí se han contado 6 veces, pues todos los demás vértices son de 6 triángulos, así que son realmente 660 / 6 = 110 bolas. Sumadas a las 12 anteriores dan el total de 110 + 12 = 122 bolas.
Podríamos haber llegado a la misma cifra usando la fórmula poliédrica que se estudia en el colegio (donde V significa vértices, A aristas y C caras): V = A – C + 2, es decir, V = 360 – 240 + 2 = 122 bolas.
Para hacer una esfera pseudogeodésica a una escala diferente, basta con sustituir cada triángulo por uno hecho a la escala deseada. Vemos aquí que los triángulos equiláteros a escalas 2, 3, 4 y 5 están formados, respectivamente, por 4, 9, 16 y 25 triángulos:

Un triángulo equilátero a escala n está formado por n2 triángulos simples. Para calcular el número de piezas a escala n, basta con multiplicar el número de triángulos (240) por n2, y repetir el cálculo anterior (el número de vértices de cinco triángulos es 12 a todas las escalas). En la siguiente tabla se dan varios resultados ya calculados y las fórmulas generales:
 
  escala  escala2  triángulos  barras  bolas 
  240  360  122 
  960  1440  482 
  2160  3240  1082 
  16  3840  5760  1922 
  25  6000  9000  3002 
  36  8640  12960  4322 
  49  11760  17640  5882 
  64  15360  23040  7682 
  ...  ...  ...  ...  ... 
  n2  240 × n2  360 × n2  120 × n2 + 2