Esferas pseudogeodésicas
El objeto que aquí llamamos esfera pseudogeodésica es un sólido cerrado que podemos considerar formado por 12 pentágonos y 30 hexágonos regulares, aunque los hexágonos no pueden ser completamente planos. En la primera de las siguientes páginas explicamos cómo obtenemos el objeto a partir de un dodecaedro regular a doble escala; en la segunda y la tercera construimos esferas a escalas 2 y 3, y en la cuarta construimos un fragmento de esfera a escala 4:
Como cada hexágono está formado por 6 triángulos y cada pentágono por 5, la esfera pseudogeodésica está formada por 30 × 6 + 12 × 5 = 240 triángulos. Cada triángulo usa 3 barras (serían 240 × 3 = 720 barras), pero como cada barra forma parte de dos triángulos estaríamos contándolas dos veces; la cifra correcta será 720 / 2 = 360 barras.
De forma parecida, cada triángulo tiene tres vértices (serían 240 × 3 = 720 bolas). La mayoría de los vértices pertenecen simultáneamente a 6 triángulos, pero los 12 vértices centrales de los pentágonos solo pertenecen a 5 triángulos, por lo que calcular el número de bolas no es tan sencillo como dividir 720 entre 6. Pero se puede hacer de esta manera: en cada uno de los 12 vértices centrales de los pentágonos coinciden 5 triángulos, luego esas 12 bolas están contando por 12 × 5 = 60 en el total de 720; si las restamos, las 720 – 60 = 660 bolas que quedan sí se han contado 6 veces, pues todos los demás vértices son de 6 triángulos, así que son realmente 660 / 6 = 110 bolas. Sumadas a las 12 anteriores dan el total de 110 + 12 = 122 bolas.
Podríamos haber llegado a la misma cifra usando la fórmula poliédrica que se estudia en el colegio (donde V significa vértices, A aristas y C caras): V = A – C + 2, es decir, V = 360 – 240 + 2 = 122 bolas.
Para hacer una esfera pseudogeodésica a una escala diferente, basta con sustituir cada triángulo por uno hecho a la escala deseada. Vemos aquí que los triángulos equiláteros a escalas 2, 3, 4 y 5 están formados, respectivamente, por 4, 9, 16 y 25 triángulos:
Un triángulo equilátero a escala n está formado por n2 triángulos simples. Para calcular el número de piezas a escala n, basta con multiplicar el número de triángulos (240) por n2, y repetir el cálculo anterior (el número de vértices de cinco triángulos es 12 a todas las escalas). En la siguiente tabla se dan varios resultados ya calculados y las fórmulas generales:
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