Sólidos platónicos y arquimedianos
Con Geomag se pueden construir modelos de todos los poliedros platónicos y arquimedianos. Para quien quiera refrescar estos conceptos, las páginas de MathWorld (en inglés) Platonic Solid y Archimedean Solid contienen mucha información, incluyendo modelos tridimensionales, desarrollos planos, fórmulas, etc. Esta página (en español) es también una buena referencia.
Hay cinco sólidos platónicos y trece arquimedianos; junto con el prisma y el antiprisma pentagonales, suman veinte poliedros uniformes convexos. Hay al menos otros 60 poliedros uniformes no convexos que, si no me equivoco, son imposibles de hacer con Geomag (véase el artículo de MathWorld
Uniform Polyhedron).
En la siguiente imagen aparecen los dieciocho sólidos, ordenados de menor a mayor tamaño. Algunos son muy sencillos y rápidos de hacer, pero otros son más complicados y necesitan estructuras auxiliares.
Las aristas de los sólidos están hechas con barras azules, mientras que las estructuras auxiliares, necesarias cuando hay caras hexagonales, octogonales o decagonales, están hechas con barras plateadas. Distinguimos los polígonos que son realmente caras de los sólidos de los auxiliares de la siguiente manera:
- Pentágonos y cuadrados: usamos paneles rojos para las caras propias, amarillos para las auxiliares.
- Triángulos: usamos paneles verdes para las caras propias, dejamos las auxiliares sin panel.
- Rombos: todos los rombos son amarillos, y siempre son parte de caras propias hexagonales.
Sólidos platónicos y arquimedianos
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Los nombres de los sólidos, de la primera a la última fila, y de derecha a izquierda, son los siguientes (los enlaces llevan a fotos individuales, más abajo en esta misma página):
En las cuatro siguientes imágenes se pueden ver con más detalle. Las versiones de mayor resolución de las tres últimas están aproximadamente a la misma escala que la primera:
Tetraedro y tetraedro truncado
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Cuboctaedro e icosidodecaedro romos
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Subfamilia del cubo y el octaedro
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Subfamilia del dodecaedro y el icosaedro
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Finalmente, imágenes individuales de cada objeto. Cuando no hay estructuras auxiliares, las cifras de bolas, barras y paneles coinciden directamente con las de vértices, aristas y caras. Cuando sí las hay, no coinciden, y en esos casos especificamos, a continiación y entre paréntesis, el número de vértices, aristas y caras.
Por ejemplo, la indicación (12v, 18a, 4c6, 4c3) significa: 12 vértices, 18 aristas, 4 caras hexagonales y 4 caras triangulares.
Sólidos platónicos:
Tetraedro regular
14 piezas: 4 bolas, 6 barras, 4 triángulos (65,08 g)
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Cubo o hexaedro regular
26 piezas: 8 bolas, 12 barras, 6 cuadrados (136,12 g)
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Octaedro regular
26 piezas: 6 bolas, 12 barras, 8 triángulos (112,96 g)
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Dodecaedro regular
62 piezas: 20 bolas, 30 barras, 12 pentágonos (349,00 g)
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Icosaedro regular
62 piezas: 12 bolas, 30 barras, 20 triángulos (256,60 g)
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Sólidos arquimedianos:
Tetraedro regular truncado
68 piezas: 16 bolas, 36 barras, 12 rombos, 4 triángulos (326,56 g)
(12v, 18a, 4c6, 4c3)
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Cubo truncado
130 piezas: 32 bolas, 72 barras, 18 cuadrados, 8 triángulos (651,32 g)
(24v, 36a, 6c8, 8c3)
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Octaedro regular truncado
122 piezas: 32 bolas, 60 barras, 6 cuadrados, 24 rombos (602,68 g)
(24v, 36a, 8c6, 6c4)
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Dodecaedro regular truncado
482 piezas: 120 bolas, 270 barras, 12 pentágonos, 60 cuadrados, 20 triángulos (2,46 kg)
(60v, 92a, 12c10, 20c3)
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Icosaedro regular truncado
302 piezas: 80 bolas, 150 barras, 12 pentágonos, 60 rombos (1,52 kg)
(60v, 92a, 20c6, 12c5)
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Cuboctaedro
50 piezas: 12 bolas, 24 barras, 6 cuadrados, 8 triángulos (231,88 g)
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Icosidodecaedro
122 piezas: 30 bolas, 60 barras, 12 pentágonos, 20 triángulos (588,40 g)
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Rombicuboctaedro
98 piezas: 24 bolas, 48 barras, 18 cuadrados, 8 triángulos (469,72 g)
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Rombicosidodecaedro
242 piezas: 60 bolas, 120 barras, 12 pentágonos, 30 cuadrados, 20 triángulos (1,18 kg)
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Cuboctaedro rombitruncado
314 piezas: 80 bolas, 168 barras, 42 cuadrados, 24 rombos (1,59 kg)
(48v, 72a, 6c8, 8c6, 12c4)
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Icosidodecaedro rombitruncado
782 piezas: 200 bolas, 420 barras, 12 pentágonos, 90 cuadrados, 60 rombos (3,98 kg)
(120v, 180a, 12c10, 20c6, 30c4)
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Cuboctaedro romo
122 piezas: 24 bolas, 60 barras, 6 cuadrados, 32 triángulos (519,16 g)
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Icosidodecaedro romo
302 piezas: 60 bolas, 150 barras, 12 pentágonos, 80 triángulos (1,31 kg)
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- Una manera ingeniosa de construir el icosaedro regular truncado sin paneles.
- El rombicosidodecaedro puede reforzarse interiormente de una forma muy ingeniosa (véanse Construcción del rombicosidodecaedro reforzado, método 1 y Construcción del rombicosidodecaedro reforzado, método 2).
- Hay otra forma de realizar las estructuras auxiliares del icosidodecaedro rombitruncado que produce, como por arte de magia, un rombicosidodecaedro concéntrico (véase Icosidodecaedros concéntricos). De forma parecida, el cuboctaedro rombitruncado oculta en su interior un rombicuboctaedro (véase Cuboctaedros concéntricos).
