Polígonos regulares
Sin utilizar paneles ni barras auxiliares, solo se puede construir con Geomag un polígono regular rígido: el triángulo equilátero.
Por supuesto, para eso es para lo que inventaron los paneles, con los que es fácil hacer cuadrados y pentágonos rígidos:
El hexágono tiene una solución evidente, al poderse descomponer en seis triángulos equiláteros. Aún así, el resultado solo es rígido en el plano, no en el espacio: la figura puede doblarse por cualquiera de las diagonales principales. Los paneles rómbicos dan una alternativa que ahorra tres barras y elimina, de paso, esas diagonales:
Si se parte un cuboctaedro por un plano medio paralelo a dos de sus caras triangulares, la sección es también un hexágono regular. Cada una de las dos mitades es el sólido de Johnson número 3, llamado cúpula triangular (véase el
artículo de MathWorld). Esta figura no es rígida, salvo si se estabiliza la cara hexagonal con barras o paneles adicionales (podría hacerse rígida, sin embargo, al formar parte de ciertas estructuras mayores):
De manera similar, la base de una cúpula cuadrada (sólido de Johnson número 4) es un octógono regular que, de nuevo, no es rígido de por sí, pero sí lo es cuando forma parte de otras estructuras como, por ejemplo, el cubo truncado (donde hay seis cúpulas cuadradas cóncavas entrelazadas unidas por un cubo central) o el rombicuboctaedro (donde hay seis cúpulas cuadradas convexas entrelazadas):
Podemos usar la cúpula pentagonal (sólido de Johnson número 5) para obtener un decágono regular, que se hace rígido al menos en el rombicosidodecaedro (doce cúpulas convexas entrelazadas), en el dodecaedro regular truncado (doce cúpulas cóncavas que comparten aristas) y en el icosidodecaedro rombitruncado (doce cúpulas cóncavas independientes):
También es un decágono regular la base de la rotonda pentagonal (sólido de Johnson número 6, o medio icosidodecaedro). Aunque no puede sustituir a la cúpula pentagonal en el dodecaedro regular truncado, sí puede hacerlo en el icosidodecaedro rombitruncado, como se explica en Icosidodecaedros concéntricos:
Y una construcción plana: diez pentágonos regulares, unidos por los lados, forman en su interior un decágono regular:
Dos construcciones planas para hacer el dodecágono regular. Sus vértices coinciden exactamente con los de seis cuadrados apoyados en los lados de un hexágono regular (izquierda). Por otro lado, los doce triángulos equilateros que se pueden disponer sobre los lados de un dodecágono regular forman entre sí ángulos de 90 grados, por lo que su posición se puede estabilizar con cuadrados (derecha):
En la construcción plana del decágono regular mediante pentágonos regulares (más arriba) se puede intercalar un cuadrado entre cada par de pentágonos consecutivos, formando así un 20-ágono regular:
No conozco ninguna construcción plana del 24-ágono regular, pero sí esta tridimensional a partir de un dodecágono. Se puede construir en las dos posiciones que se muestran, pero seguramente es más fácil hacerlo en la de la derecha:
Por último, una construcción plana para el 30-ágono regular: quince pentágonos regulares unidos por un vértice y con triángulos equiláteros intercalados:
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